Proportionaler Dreisatzrechner
Dieser Dreisatzrechner wird verwendet, wenn sich die Bezugsgrößen in die gleiche Richtung bewegen (z.B: „je mehr A, desto mehr B“ oder „je weniger A, desto weniger B“). Beispiel: Wenn ein Auto 2 Stunden für 75 km benötigt, wie weit kommt es dann in 3,5 Stunden?Antiproportionaler Dreisatzrechner
Dieser Dreisatzrechner wird verwendet, wenn sich die Bezugsgrößen in die entgegengesetzte Richtung bewegen (z.B: „je mehr A, desto weniger B“ oder „je weniger A, desto mehr B“). Beispiel: Wenn 2 Maurer eine 1 Meter lange Mauer in 2 Stunden mauern, wie viele Stunden benötigen dann 3 Maurer für 1 Meter Mauer?Wann wendet man den Dreisatz an?
Der Dreisatz wird angewendet, wenn mithilfe von drei vorhandenen Bezugsgrößen auf eine vierte geschlossen werden soll. Diese Problematik findet sich im Alltag sehr häufig: Es sollen zwei Bezugspaare ins Verhältnis gesetzt werden und man sucht die fehlende Größe. Häufig sind diese Bezugspaare „Zeit und Menge“ oder „Preis und Gewicht“. Typische Beispiele für Dreisatz-Fragen:- Wenn 1 Kilo Weintrauben 4,00 Euro kosten, wie viel Euro kosten dann 0,5 Kilogramm Weintrauben? (Proportionaler Dreisatz)
- Wenn ein Auto 2 Stunden für 75 km benötigt, wie weit kommt es dann in 3,5 Stunden? (Proportionaler Dreisatz)
- Wenn 2 Maurer eine 1 Meter lange Mauer in 2 Stunden mauern, wie viele Stunden benötigen dann 3 Maurer für 1 Meter Mauer? (Antiproportionaler Dreisatz)
- Wenn ein Auto mit 50 km/h drei Stunden nach München benötigt, wie viele Stunden benötigt es dann mit 60 km/h? (Antiproportionaler Dreisatz)
Wie lautet die Dreisatz-Formel?
Die Dreisatz-Formel setzt die oben erwähnten Bezugsgrößen ins Verhältnis. Wenn wir den Fall haben, dass sich Bezugsgröße A und B in die gleiche Richtung bewegen (also z.B. je mehr A, desto mehr B), dann handelt es sich um den klassischen, proportionalen Dreisatz. Ein Beispiel wäre, die Frage nach dem Preis von 2 Kilo Weintrauben, wenn man den Preis von einem Kilo kennt. Je mehr Kilo, desto mehr EUR. Die Dreisatz-Formel für einen proportionalen Dreisatz heißt: \frac{\text{Bezugsgroesse A1 (z.B. Zeit 1)}}{\text{Bezugsgroesse A2 (z.B. Zeit 2)}}=\frac{\text{Bezugsgroesse B1 (z.B. Menge 1)}}{\text{gesuchte Groesse X (z.B. Menge 2)}}
Es gibt jedoch auch Fälle, in denen verlaufen A und B gegensätzlich (also z.B. je mehr A, desto weniger B). Beispiel: umso schneller man fährt, umso weniger Zeit verbraucht man auch. Dann handelt es sich um einen anti-proportionalen Dreisatz und die Formel lautet ein wenig anders: \frac{\text{Bezugsgroesse A1 (z.B. Zeit 1)}}{\text{Bezugsgroesse A2 (z.B. Zeit 2)}}=\frac{\text{gesuchte Groesse X (z.B. Menge 2)}}{\text{Bezugsgroesse B1 (z.B. Menge 1)}}
Um sich das einfach zu merken: Wenn beide in die gleiche Richtung zeigen, dann sitzt X unten. Wenn sie entgegengesetzt zeigen, dann sitzt X oben.Wie funktioniert Dreisatz?
Bleiben wir bei diesem Beispiel: Wenn 1 Kilo Weintrauben 4,00 Euro kostet, wieviel Euro kosten dann 0,5 Kilogramm Weintrauben? Es sind drei konkrete Werte vorgegeben und ein vierter wird gesucht. Das heißt es handelt sich um eine Dreisatzaufgabe. Außerdem wissen wir, dass „je mehr Kilo, desto mehr EUR“ und somit, dass es sich um einen proportionalen Dreisatz handeln muss. Wir haben die Aussage, dass 1 Kilo Weintrauben 4,00 Euro kostet. Das ist der Grundwert. Die Menge an Weintrauben, von der wir ausgehen. Sie sind die 100%, das Ganze, von dem wir anschließend einen Teilwert berechnen wollen. Daraus folgt die Schreibweise: 1 kg (Weintrauben) = 4,00 Euro Im zweiten Aufgabenteil erfahren wir, dass der Preis für 0,5 Kilogramm Weintrauben gesucht wird. Ein konkreter Wert ist angegeben, der zweite Wert für das Paar fehlt. Daraus bildet sich folgende Zeile: 0,5 kg (Weintrauben) = ? Euro Das Fragezeichen wird mathematisch als „X“ formuliert, sodass die Zeile dann korrekt heißt: 0,5 kg (Weintrauben) = X Beide Zeilen zusammengesetzt ergeben also die Aufgabe: 1 kg Weintrauben = 4,00 Euro 0,5 kg Weintrauben = X Wenn wir das in die Formel oben eingeben, erhalten wir: \frac{\text{1 kg Weintrauben}}{\text{0,5 kg Weintrauben}}=\frac{\text{4 EUR}}{\text{X}}
Wenn wir dies nach X umstellen, lautet die Formel: \text{X}=\text{4 EUR}\times\frac{\text{0,5 kg Weintrauben}}{\text{1 kg Weintrauben}}=
Das Ergebnis ist also: 2 Euro Die Einheit Euro entsteht durch das Kürzen von kg gegen kg, sodass nur der Euro übrig bleibt.Weitere Dreisatz Beispiele
Beispiel 1 Bei Einkaufen werden wir überall mit Rabatten konfrontiert. Wenn ein Preisnachlass von 10%, 20% oder 50% angeboten wird, ist es hilfreich, diesen als konkreten Zahlenwert zu kennen. Nehmen wir an, eine Waschmaschine wird normalerweise zu einem Preis von 420 Euro verkauft. In einer Rabattaktion wird sie mit einem Preisnachlass von 20% beworben. Frage: Wie teuer ist die Waschmaschine während der Rabattaktion?- Was ist der Grundwert bzw. was ist die Aussage, auf die sich alles andere bezieht? Antwort: die Waschmaschine kostet normalerweise 420 Euro
- Was wird gesucht? Antwort: wie teuer ist die Waschmaschine bei einem Preisnachlass von 20%
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