Dreisatz-Rechner: Einfach ausgerechnet und schnell erklärt

Textaufgaben sind ein immer wieder beliebtes Mittel der Mathelehrer/-innen Schüler auf ihr mathematisches Wissen zu testen. Sehr oft kann man diese Textaufgaben mit dem Dreisatz lösen. Blitzrechner hat deshalb einen einfach zu bedienenden Dreisatzrechner entwickelt, der blitzschnell die richtige Antwort liefert. Darüber hinaus gibt es jede Menge Erklärungen wie der Dreisatz funktioniert und wie man ihn anwendet.

Proportionaler Dreisatzrechner

Dieser Dreisatzrechner wird verwendet, wenn sich die Bezugsgrößen in die gleiche Richtung bewegen (z.B: „je mehr A, desto mehr B“ oder „je weniger A, desto weniger B“).

Beispiel: Wenn ein Auto 2 Stunden für 75 km benötigt, wie weit kommt es dann in 3,5 Stunden?

Antiproportionaler Dreisatzrechner

Dieser Dreisatzrechner wird verwendet, wenn sich die Bezugsgrößen in die entgegengesetzte Richtung bewegen (z.B: „je mehr A, desto weniger B“ oder „je weniger A, desto mehr B“).

Beispiel: Wenn 2 Maurer eine 1 Meter lange Mauer in 2 Stunden mauern, wie viele Stunden benötigen dann 3 Maurer für 1 Meter Mauer? 

Wann wendet man den Dreisatz an?

Der Dreisatz wird angewendet, wenn mithilfe von drei vorhandenen Bezugsgrößen auf eine vierte geschlossen werden soll. Diese Problematik findet sich im Alltag sehr häufig: Es sollen zwei Bezugspaare ins Verhältnis gesetzt werden und man sucht die fehlende Größe. Häufig sind diese Bezugspaare „Zeit und Menge“ oder „Preis und Gewicht“.

Typische Beispiele für Dreisatz-Fragen:

  • Wenn 1 Kilo Weintrauben 4,00 Euro kosten, wie viel Euro kosten dann 0,5 Kilogramm Weintrauben? (Proportionaler Dreisatz)
  • Wenn ein Auto 2 Stunden für 75 km benötigt, wie weit kommt es dann in 3,5 Stunden? (Proportionaler Dreisatz)
  • Wenn 2 Maurer eine 1 Meter lange Mauer in 2 Stunden mauern, wie viele Stunden benötigen dann 3 Maurer für 1 Meter Mauer? (Antiproportionaler Dreisatz)
  • Wenn ein Auto mit 50 km/h drei Stunden nach München benötigt, wie viele Stunden benötigt es dann mit 60 km/h? (Antiproportionaler Dreisatz)

Wie lautet die Dreisatz-Formel?

Die Dreisatz-Formel setzt die oben erwähnten Bezugsgrößen ins Verhältnis.

Wenn wir den Fall haben, dass sich Bezugsgröße A und B in die gleiche Richtung bewegen (also z.B. je mehr A, desto mehr B), dann handelt es sich um den klassischen, proportionalen Dreisatz. Ein Beispiel wäre, die Frage nach dem Preis von 2 Kilo Weintrauben, wenn man den Preis von einem Kilo kennt. Je mehr Kilo, desto mehr EUR. 

Die Dreisatz-Formel für einen proportionalen Dreisatz heißt:

\frac{\text{Bezugsgroesse A1 (z.B. Zeit 1)}}{\text{Bezugsgroesse A2 (z.B. Zeit 2)}}=\frac{\text{Bezugsgroesse B1 (z.B. Menge 1)}}{\text{gesuchte Groesse X (z.B. Menge 2)}}

Es gibt jedoch auch Fälle, in denen verlaufen A und B gegensätzlich (also z.B. je mehr A, desto weniger B). Beispiel: umso schneller man fährt, umso weniger Zeit verbraucht man auch.

Dann handelt es sich um einen anti-proportionalen Dreisatz und die Formel lautet ein wenig anders:

\frac{\text{Bezugsgroesse A1 (z.B. Zeit 1)}}{\text{Bezugsgroesse A2 (z.B. Zeit 2)}}=\frac{\text{gesuchte Groesse X (z.B. Menge 2)}}{\text{Bezugsgroesse B1 (z.B. Menge 1)}}

Um sich das einfach zu merken: Wenn beide in die gleiche Richtung zeigen, dann sitzt X unten. Wenn sie entgegengesetzt zeigen, dann sitzt X oben.

Wie funktioniert Dreisatz?

Bleiben wir bei diesem Beispiel: Wenn 1 Kilo Weintrauben 4,00 Euro kostet, wieviel Euro kosten dann 0,5 Kilogramm Weintrauben?

Es sind drei konkrete Werte vorgegeben und ein vierter wird gesucht. Das heißt es handelt sich um eine Dreisatzaufgabe. Außerdem wissen wir, dass „je mehr Kilo, desto mehr EUR“ und somit, dass es sich um einen proportionalen Dreisatz handeln muss.

Wir haben die Aussage, dass 1 Kilo Weintrauben 4,00 Euro kostet. Das ist der Grundwert.

Die Menge an Weintrauben, von der wir ausgehen. Sie sind die 100%, das Ganze, von dem wir anschließend einen Teilwert berechnen wollen. Daraus folgt die Schreibweise:

1 kg (Weintrauben) = 4,00 Euro

Im zweiten Aufgabenteil erfahren wir, dass der Preis für 0,5 Kilogramm Weintrauben gesucht wird. Ein konkreter Wert ist angegeben, der zweite Wert für das Paar fehlt. Daraus bildet sich folgende Zeile:

0,5 kg (Weintrauben) = ? Euro

Das Fragezeichen wird mathematisch als „X“ formuliert, sodass die Zeile dann korrekt heißt:

0,5 kg (Weintrauben) = X

Beide Zeilen zusammengesetzt ergeben also die Aufgabe:

1 kg Weintrauben = 4,00 Euro

0,5 kg Weintrauben = X

Wenn wir das in die Formel oben eingeben, erhalten wir:

\frac{\text{1 kg Weintrauben}}{\text{0,5 kg Weintrauben}}=\frac{\text{4 EUR}}{\text{X}}

Wenn wir dies nach X umstellen, lautet die Formel:

\text{X}=\text{4 EUR}\times\frac{\text{0,5 kg Weintrauben}}{\text{2 kg Weintrauben}}=

Das Ergebnis ist also: 2 Euro

Die Einheit Euro entsteht durch das Kürzen von kg gegen kg, sodass nur der Euro übrig bleibt.

Weitere Dreisatz Beispiele

Beispiel 1

Bei Einkaufen werden wir überall mit Rabatten konfrontiert. Wenn ein Preisnachlass von 10%, 20% oder 50% angeboten wird, ist es hilfreich, diesen als konkreten Zahlenwert zu kennen. Nehmen wir an, eine Waschmaschine wird normalerweise zu einem Preis von 420 Euro verkauft. In einer Rabattaktion wird sie mit einem Preisnachlass von 20% beworben. Frage: Wie teuer ist die Waschmaschine während der Rabattaktion?

  1. Was ist der Grundwert bzw. was ist die Aussage, auf die sich alles andere bezieht? Antwort: die Waschmaschine kostet normalerweise 420 Euro
  2. Was wird gesucht? Antwort: wie teuer ist die Waschmaschine bei einem Preisnachlass von 20%
  3. Gleichung aufstellen und berechnen:

Während wir beim ersten Beispiel als Grundwert die Angabe hatten, dass 1kg Weintrauben 4,00 Euro kostet, haben wir bei diesem Beispiel die Angaben von Prozentzahlen. Der Preisnachlass soll 20% betragen. Tauchen in einer Textaufgabe Prozentwerte auf, wird die Grundangabe immer 100% gleichgesetzt. Die 420 Euro, die die Waschmaschine normalerweise kostet, sind der Ausgangswert. Sie sind das Ganze, die 100%. Mehr zur Prozentrechnung erfährst du hier.

Deshalb erscheint in der ersten Zeile:

420 Euro = 100%

Gefragt wird nach dem Preis bei 20% Rabatt. Als Gleichung geschrieben:

x = 20% (das x steht dabei für „wie viel Euro sind“)

Die Gleichung zusammengesetzt: 420 Euro = 100% x Euro = 20%

Wichtig! Gleiche Werte müssen immer untereinander erscheinen. Also Euro unter Euro und Prozent unter Prozent oder Kilogramm unter Kilogramm. Die Werte nicht diagonal in die Gleichung einsetzen. So nicht:

420 Euro = 100%

20% = x Euro

Die Rechnung lautet dann: 420 Euro x 20% geteilt durch 100%

Das Ergebnis lautet 84 Euro. Das bedeutet, dass wir beim Kauf der Waschmaschine 84 Euro sparen würden. Um den Gesamtpreis während der Rabattaktion auszurechnen, müssen wir die 84 Euro vom ursprünglichen Gesamtpreis abziehen.

420 Euro – 84 Euro = 336 Euro

Beim Berechnen von Rabatten darf man nicht vergessen, dass der errechnete Wert noch nicht das Endergebnis ist. Wir haben mit dem Dreisatz 20% vom Gesamtwert berechnet. Dieser Wert muss anschließend vom ursprünglichen Preis abgezogen werden.

Beispiel 2

Wenn 3 Erwachsene 6 Stunden brauchen, um einen 10 m langen Gartenzaun beidseitig zu streichen, wie viele Stunden werden dann zum Streichen benötigt, wenn 5 Erwachsene den Zaun streichen?

1. Zuerst suchen wir die Grundaussage heraus

Diese lautet, dass 3 Erwachsene 6 Stunden zum Streichen brauchen. Die Zaunlänge ist als Aussage nicht wichtig, weil sie sich auch bei 5 streichenden Personen nicht ändert.

3 Erwachsene = 6 Stunden

Wichtig! Diese Aussage muss auf 1 Erwachsenen umgerechnet werden, um herauszufinden, wie viel Arbeitszeit insgesamt für das Zaunstreichen aufgewendet werden muss. Anschließend kann diese dann auf 5 Erwachsene (statt vorher 3) aufgeteilt werden. Dazu rechnen wir:

3 Erwachsene * 6 Stunden = 18 Stunden Gesamtarbeitszeit

2. Nach der Feststellung kommt die Frage, was gesucht ist.

Antwort: die Stundenanzahl für 5 arbeitende Erwachsene. Daraus lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

1 Erwachsener = 18 Stunden ( im letzten Schritt berechnet) 5 Erwachsene = x Stunden

Wir teilen die Gesamtarbeitszeit durch die Anzahl der Erwachsenen: 18 Stunden / 5 Erwachsene Ergebnis: 3,6 Stunden

Bei 5 Erwachsenen wäre die Arbeit also in 3 Stunden und 36 Minuten geschafft.